Phương trình đường elip – Sách BT Toán lớp 10, phần Hình học

| Tin mới | Tag:

Phương trình đường elip

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Trong mặt phảng Oxy cho hai điểm F_1 (-c ; 0), F_2 (c ; 0) và độ

dài không đổi 2a (a > c > 0).

Elip (E) là tập hợp các điểm M sao choF_1 M + F_2 M= 2a (h.3.4). Ta có thể viết:

(E)= { M | F_1 M + F_2 M = 2a }.

2. Phương trình chính tắc của elip (E) là :

Loading…

3. Các thành phần của elip (E) là :

– Hai tiêu điểm : F_1 (- c ; 0), F_2 (c ; 0);

– Bốn đỉnh :A_1 (- a ; 0), A_2 (a ; 0),

B_1 {0 ; -b),B_2 (0 ; b);

Độ dài trục lớn : A_1 A_2 = 2a ;

– Độ dài trục nhỏ B_1 B_2 = 2b ;

– Tiêu cự : F_1 F_2 = 2c (h.3.5).

4. Hình dạng của elip (E):

– (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ ;

– Mọi điểm của elip (E) ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

* VẤN ĐỀ 1

Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó

1. Phương pháp

– Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip.

– Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức :


– Ta có các hệ thức (h.3.6):

• 0 < b < a

c^2 = a^2 b^2

F_1 F_2 = 2c (tiêu cự)

A_1 A_2 = 2a (độ dài trục lớn)

B_1 B_2 = 2b (độ dài trục nhỏ)

• M ∈ (E) ⇔ F_1 M + F_2 M= 2a.

– Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip (E):

• Hai tiêu điểm : F_1 (- c ; 0), F_2 (c ; 0);

• Hai đỉnh trên trục lớn : A_1 (- a ; 0), A_2 (a ; 0),

• Hai đỉnh trên trục nhỏ : B_1 (0 ; -b),B_2 (0 ; b);

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ;

b) Một tiêu điểm là điểm (- sqrt{3} ; 0 ) và điểm ( 1; frac {sqrt3}{2} ) nằm trên elip

GIẢI

a) Ta có 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3

b^2 = a^2 c^2 = 25 – 9 = 16.



Vì (E) có một tiêu điểm F_1 (- sqrt{3} ; 0 ) nên c = sqrt{3} . Ta có :

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là điểm (-2 ; 0);

b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1; frac {sqrt3}{2} )

GIẢI

a) Ta có a = 3 ; c = 2.

Suy ra b^2 = a^2 c^2 = 9 – 4 = 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip là :

b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng :

* VẤN ĐỀ 2

Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó

1. Phương pháp

– Trục lớn của (E) nằm trên Ox, A_1 A_2 = 2a

– Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy, B_1 B_2 = 2b

– Hai tiêu điểm : F_1 (- c ; 0), F_2 (c ; 0) với c = sqrt{a^2 - b^2 }

– Tiêu cự : F_1 M + F_2 M = 2c ;

– Bốn đỉnh : A_1 (- a ; 0), A_2 (a ; 0), B_1 (0 ; -b),B_2 (0 ; b);

– Tỉ số c / a < 1 (e = c / a còn gọi là tâm sai của elip);

– Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là

x = ±a ; y = ±b.


Thật vậy, ta có :

F_1M ^2 ={(x + c)^2} + y^2

F_2M ^2 ={(x - c)^2} + y^2

Suy ra F_1M ^2 F_2M ^2 = 4cx (1)

Theo định nghĩa của elip ta có : F_1 M +F_2 M = 2a (2)

Chia (1) cho (2) ta được : F_1 M F_2 M = 2(c/a)x (3)

Từ (2) và (3) ta tính được F_1 M và F_2 M.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình

GIẢI


c = sqrt{a^2 - b^2 } = 4.

Vậy (E) có :

– Trục lớn : A_1 A_2 = 2a =10 ;

– Trục nhỏ : B_1 B_2 = 2b = 6;

– Hai tiêu điểm : F_1 (- 4 ; 0), F_2 (4 ; 0 )

– Bốn đỉnh : A_1 (- 5 ; 0), A_2 (5 ; 0), B_1 (0 ; – 3), B_2 (0 ; 3).

Hình vẽ của (E) như hình 3.8.

Ví dụ 2. Cho elip (E) có phương trình


Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là F_1 F_2 trong đó F_1 F_2 là hai tiêu điểm của (E).

GIẢI

Ta có a^2 = 100, b^2 = 36.

Suy ra c^2 = a^2 b^2 = 64 => c = 8.

Đường tròn đường kính F_1 F_2 có tâm là gốc toạ độ và có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là : x^2 + y^2 = 64.

* VẤN ĐỀ 3

Chứng minh điểm M di động trên một elip

1. Phương pháp

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách (h.3.9):

Cách 1 : Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F_1 , F_2 là một hằng số 2a (F_1 F_2 < 2a).

Khi đó M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm F_1 , F_2 và trục lớn là 2a.

Cách 2 : Chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) có toạ độ thoả mãn phương trình

với a, b là hai hằng số thoả mãn 0 < b < a.

2. Các ví dụ

GIẢI

Ta có MF_1 = R + R_1 ; MF_2 = R_2 – R. Suy ra MF_1 + MF_2 = R_1 + R_2

Vậy M di động trên elip có hai tiêu điểm là F_1 F_2 và có trục lớn là 2a = R_1 + R_2

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x ; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn

trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

GIẢI

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau :

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip.

3.29. Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:

a) 4x^2 + 9y^2 = 36 ;

b) x^2 + 4y^2 = 4.

3.30. Cho đường tròn C (MF_1 ; 2a) cố định và một điểm MF_2 cố đinh nằm trong (C_1 ). Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua điểm MF_2 (C) luôn tiếp xúc với (C_1 ). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn thoả mãn

trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :

a) Đô dài trac lớn bằng 26 và tỉ số c/a bằng 5/13 ;

b) Tiêu điểm MF_1 (-6 ; 0) và tỉ số c/a bằng 2/3.

3.33. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là MF_1 MF_2 biết

và tam giác MF_1F_2 vuông tại M.

3.34. Cho elip (E): 9x^2 + 25y^2 = 225.

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F_1 , F_2 và các đỉnh của (E).

b) Tìm điểm M ∈ (E) sao cho M nhìn F_1 F_2 dưới một góc vuông.

3.35.

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

3.36. Cho elip (E) : 4x^2 + 9y^2 = 36 và điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Bình luận
0

Bình luận