Khái niệm về mặt tròn xoay – Các kiến thức cần nhớ – sách bài tập hình học 12

| Tin mới | Tag:

Các kiến thức cần nhớ về khái niệm về mặt tròn xoay

I. SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng A và chứa đường . Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ một góc 360° thì đường C tạo nên một mặt tròn xoay. Mặt tròn xoay đó nhận Δ làm trục, đường C được gọi là đường sinh.

II. TÍNH CHẤT CỦA MẶT TRÒN XOAY

– Nếu cắt mặt tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Δ ta được giao tuyến là các đường tròn có tâm trên Δ.

– Mỗi điểm M trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt tròn xoay và đường tròn này có tâm thuộc trục A.

III. MẶT NÓN TRÒN XOAY

1. Định nghĩa.

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và d cắt nhau tại O tạo thành góc a với 0° < α < 90°. Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay mặt phẳng (P) xung quanh A gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng A gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh, góc 2 α gọi là góc ở đỉnh của mặt nón tròn xoay.

2. Tính chất

a) Nếu cắt mặt nón tròn xoay đỉnh o bởi mặt phẳng đi qua đỉnh O ta có các trường hợp sau đây :

– Mặt phẳng cắt mặt nón theo hai đường sinh ;

– Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này người ta gọi mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt nón ;

– Mặt phẳng chỉ có một điểm O chung duy nhất với mặt nón, ngoài ra không có một điểm chung nào khác.

b) Nếu cắt mặt nón tròn xoay đỉnh O bởi mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh o ta có các trường hợp sau đây :

– Nếu mặt phẳng (P) cắt mọi đường sinh của mặt nón, ta được giao tuyến là

một đường elip hoặc là một đường tròn (khi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Δ của mặt nón); :

– Nếu mặt phẳng (P) song song với chỉ một đường sinh của mặt nón, ta được giao tuyến là một đường parabol;

– Nếu mặt phẳng (P) song song với hai đường sinh của mặt nón, ta được giao tuyến là hai nhánh của một đường hypebol.

Xem thêm: Các dạng toán cơ bản về mặt tròn xoay .

3. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình gọi là hình nón tròn xoay (hay hình nón). Hình tròn tâm I bán kính IM gọi là mặt đáy, điểm O gọi là đỉnh, độ dài OI gọi là chiều cao và độ dài OM gọi là đường sinh của hình nón đó.

Khối nón tròn xoay (hay khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

4. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và có độ dài đường sinh bằng l.

Ta có công thức : Sxq = πrl.

Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình nón cộng diện tích đáy của hình nón.

5. Thể tích khối nón tròn xoay

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy là B.

Ta có công thức V=frac{1}{3}Bh . Nếu bán kính đáy bằng r ta có V=frac{1}{3}pi r^{2}h .

V. MẶT TRỤ TRÒN XOAY

1. Định nghĩa.

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng A và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay gọi là mặt trụ tròn xoay và được gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng Δ gọi là trục của mặt trụ, đường thẳng l gọi là đường sinh của mặt trụ và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Tính chất

a) Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính bằng r) bởi một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Δ thì ta được một đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng

b ) Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính bằng r) bởi một mặt phẳng ( α) không vuông góc với trục Δ, nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là đường elip có trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng frac{2r}{sin φ } trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng ( α ) (0° < φ < 90°).

c) Nếu M là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là Δ và có bán kính r thì đường thẳng l‘ đi qua M và song song với Δ sẽ nằm trên mặt trụ đó và như vậy l’ là một đường sinh của mặt trụ đã cho.

d) Cho mặt phẳng ( α) song song với trục A của mặt trụ tròn xoay (có bán kính bằng r) và cách Δ một khoảng bằng Nếu h < r thì mặt phẳng (a) cắt mặt trụ theo hai đường sinh, nếu h = r thì mặt phẳng ( α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh, còn nếu h> r thì mặt phẳng (à) không cắt mặt trụ.

3. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật đó xụng quanh đườrig thẳng chứa một cạnh, ví dụ cạnh AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay (hay hình trụ).

Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ tạo ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, còn cạnh CD là đường sinh tạo ra mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi tắt là khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh của một khối trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ tương ứng làm giới hạn cho khối trụ đó.

4. Diện tích xung quanh của hình trụ

Nếu gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và có đường sinh bằng l ta có công thức :

Sxq = 2πrl.

Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ.

5. Thể tích khối trụ

Gọi V là thể tích khối trụ tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy là B. Ta có công thức V = Bh. Nếu bán kính đáy bằng r ta có

V= pi r^{2}h .

Bình luận
0

Bình luận