Hệ tọa độ trong không gian – Kiến thức cơ bản – Giải bài tập Hình học 12

KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Hệ tọa độ Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau x′Ox;y′Oy;z′Oz. Hệ thống ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz; O là gốc tọa tọa độ. Giả sử ; ; lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x′Ox,y′Oy,z′Oz. 2. Toạ độ giao điểm Trong không gian, cho hệ trục toạ độ Oxyz và...

Có thể bạn quan tâm:

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Hệ tọa độ

Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau xOx;yOy;zOz. Hệ thống ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz; O là gốc tọa tọa độ. Giả sử overrightarrow{i} ; overrightarrow{j} ; overrightarrow{k} lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx,yOy,zOz.

2. Toạ độ giao điểm

Trong không gian, cho hệ trục toạ độ Oxyz và một điểm M tùy ý. Khi đó i, j, k không đồng phẳng nên tồn tại duy nhất một bộ ba số sao cho overrightarrow{OM} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j} + zoverrightarrow{k} .

Ta nói bộ ba số (x; y; z) là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết M(x; y; z) hoặc M = (x; y; z).

Như vậy M(x;y;z) <=> overrightarrow{OM} = x overrightarrow{i} +y overrightarrow{j} + z overrightarrow{k} .

3. Toạ độ của vectơ

Trong không gian Oxyz cho vectơ overrightarrow{a} , ta luôn có overrightarrow{a} = a1overrightarrow{i} + a2overrightarrow{j} + a3$latexoverrightarrow{k} $. Khi đó bộ ba số (a1; a2; a3) được xác định duy nhất và được gọi là toạ độ của vectơ overrightarrow{a} đối với hệ trục toạ độ Oxyz. Ta viết như sau:

overrightarrow{a} =(a1;a2;a3) hoặc overrightarrow{a} (a1;a2;a3).

Như vậy thì: overrightarrow{a} = (a1;a2;a3)=> overrightarrow{a} = a1overrightarrow{i} + a2overrightarrow{j} + a3overrightarrow{k} .

Xem thêm: Bài tập hệ tọa độ trong không gian tại đây.

4. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

– Định lí

Đối với hệ trục Oxyz, nếu có hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và overrightarrow{b} (b1;b2;b3) thì ta có:

overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (a1 +b1; a2 +b2; a3 +b3).

overrightarrow{a} overrightarrow{b} = (a1 – b1; a2 – b2; a3 – b3) .

k overrightarrow{a} = k(a1;a2;a3) = (ka1;ka2;ka3) với k ∈ R.

– Hệ quả

Cho hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và overrightarrow{b} (b1;b2;b3). Ta có: overrightarrow{a} = overrightarrow{b} <=> a1 = b1; a2 = b2; a3 =b3.

+ Vectơ overrightarrow{0} có toạ độ là (0; 0; 0).

+ Với overrightarrow{b} overrightarrow{0} thì hai vectơ overrightarrow{a} overrightarrow{b} cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: a1 = kb1 ; a2 = kb2; a3 = kb3.

+ Trong không gian Oxyz, nếu hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) thì:

overrightarrow{AB} = (xB – xA; yB – yA; zB – zA).

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

5. Tích vô hướng (Biểu thức toạ độ của tích vô hướng)

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và

overrightarrow{b} (b1;b2;b3) được xác định bằng công thức sau: overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3.

Như vậy:

Cho overrightarrow{a} (a1; a2; a3), độ dài vectơ overrightarrow{a} là:

Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) Ta có:

Gọi φ là góc giữa hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và overrightarrow{b} (b1;b2;b3)

với a, b ≠ 0 thì:

6. Phương trình mặt cầu

– Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình là:

– Phương trình dạng:

là phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) có bán kính r bằng sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}-D} .

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Ngày 22/08 năm 2019 | Tin mới | Tag: