Định lí Py-ta-go – Các dạng toán và phương pháp giải toán 7 tập 1

Định lí Py-ta-go

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Định lí Py-ta-go

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông

ΔABC vuông tại A ⇒ BC² = AB² + AC²

2. Định lí Py-ta-go đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC: BC² = AB² + AC² ⇒ = 90º

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. TÍNH ĐỘ DÀI MỘT CẠNH CỦA TAM GIÁC VUÔNG.

Phương pháp giải.

Sử dụng định lí Py-ta-go. Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

Ví dụ 1. (Bài 53 tr.131 SGK)

Tìm độ dài x trên hình 127 (SGK)

Hướng dẫn.

a) x² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Vậy x = 13

b) x² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5. Vậy x =

c) x² = 29² – 21² = 841 – 441 = 400 = 20². Vậy x = 20

d) x² = ()² + 3² = 7 + 9 = 16 = 4². Vậy x = 4

Ví dụ 2. (Bài 58 tr 132 SGK)

Đố: Trong lúc anh Nam dựng tỉ cho đứng thẳng, tủ có bị vướng vào trần nhà hay không? (Hình 130 SGK)

Hướng dẫn.

Gọi d là đường chéo của tủ, h là chiều cao của nhà. Ta thấy:

d² = 20² + 4² = 416 ⇒ d =

h² = 21² = 441 ⇒ h =

Suy ra d < h. Như vậy, khi anh Nam đầy tỉ cho thẳng đứng, tủ không bị vướng vào trần nhà.

Ví dụ 3. (Bài 60 tr. 133 SGK)

Chọn tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC) Cho biết AB = 13 cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính các độ dài AC, BC.

Hướng dẫn.

ΔAHC vuông tại H nên theo Định lí Py-ta-go

AC² = AH² + HC² = 12² + 16²

= 144 + 256 = 400 = 20²

Do đó AC = 20cm

ΔAHB vuông tại H nên:

BH² = AB² – AH² = 13² – 12² = 169 – 144 = 25 = 5²

Vậy BH = 5cm.

Suy ra BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm)

Ví dụ 4. (Bài 61 tr. 133 SGK)

Trên giấy kẻ ô vuông (độ dài cạnh của ô vuông bằng 1), cho ΔABC như hình 135 (SGK). Tính độ dài mỗi cạnh của ΔABC.

Hướng dẫn.

AB² = 2² + 1² = 5 ⇒ AB = ;

BC² = 3² + 5² = 34 ⇒ BC = ;

CA² = 3² + 4² = 25 ⇒ CA = 5.

Ví dụ 5. (Bài 62 tr.133 SGK)

Đố: Người ra buộc con Cún bằng sợi dây có một đầu buộc tại điểm O làm cho con Cún cách điểm O nhiều nhất là 9m (Hình 136 SGK). Con Cún có thể tới các vị trí A, B, C để canh giữ mảnh vườn hình chữ nhật ABCD hay không? (các kích thước như trên hình vẽ).

Hướng dẫn.

OA² = 3² + 4² = 25 ⇒ OA = 5 < 9

OC² = 6² + 8² = 100 ⇒ OC = 10 > 9.

OD² = 3² + 8² = 73 ⇒ < 9.

OB² = 4² + 6² = 52 ⇒ < 9.

Như vậy, con Cún có thể tới các vị trí A, B, D nhưng không tới được vị trí C.

Dạng 2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ PY-TA-GO ĐẢO ĐỂ NHẬN BIẾT TAM GIÁC VUÔNG

Phương pháp giải.

– Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

– So sánh bình thường của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

– Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

Ví dụ 6. (Bài 56 tr.131 SGK)

Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh sau:

a) 9cm, 15cm, 12cm

b) 5dm, 13dm, 12dm.

c) 7m, 7m, 10m?

Hướng dẫn

a) 9² = 81 ; 15² = 225 ; 12² = 144. Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác vuông.

b) 5² = 25 ; 13² = 169 ; 12² = 144. Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác vuông.

c) 7² = 49 ; 10² = 100, ta thấy 100 ≠ 49 + 49 nên tam giác không vuông.

Ví dụ 7. (Bài 57 tr. 131 SGK)

Cho bài toán : “Tam giác ABC có AB = 8, AC = 17, BC = 15 có phải là tam giác vuông không?” Bạn Tâm đã giải bài toán đó như sau: AB² + AC² = 8² + 17² = 64 + 289 = 353

BC² = 15² = 255

Do 353 ≠ 225 nên AB² + AC² ≠ BC²

Vậy ΔABC không phải là tam giác vuông.

Lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng.

Hướng dẫn.

Lời giải trên là sai. Sửa lại như sau:

AB² + BC² = 8² + 15² = 164 + 225 = 289 ; AC² = 17² = 289.

Ta thấy AB² + BC = AC² nên tam giác ABC vuông tại B.