Bài ôn tập cuối năm – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

| Tin mới | Tag:

Bài ôn tập cuối năm Hình học 9

Ví dụ 41

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D, ta vẽ hai đường tròn (O_{1} ) và (O_{2} ) theo thứ tự tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.

a) Trình bày cách vẽ hai đường tròn (O_{1} ) và (O_{2} ).

b) Chứng minh rằng điểm M cũng nằm trên đường tròn (O).

c) Khi điểm D chuyển động trên cạnh BC nhưng không trùng với B hoặc C, chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua một điểm cố định.

d) Gọi E là điểm chính giữa của cung BC, AE cắt BC tại F. Chứng minh rằng AE . AF = AB . AC.

e) Trên tia đối của tia BC, lấy một điểm P. Giả sử PO = 19 cm, bán kính của đường tròn (O) bằng 14 cm và đoạn BC dài hơn đoạn PB là 19 cm. Hãy tính độ dài PC.

Giải

a)

– Dựng đường trung trực của BD.

– Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại B.

– Oị là giao điểm của hai đường trên.

– Dựng đường tròn tâm O_{1} bán kính O_{1}B .

Đường tròn (O_{2} ) cũng dựng tương tự.

b) Trong đường tròn (O_{1} ) ta có ABD = BMD (cùng có số đo bằng nửa số đo cung BD).

Tương tự, trong đường tròn (02), ta có widehat{ACD} = widehat{CMD} . Trong ΔABC, widehat{BAC} + widehat{ABD} +widehat{ACD} = 180^{0} suy ra widehat{BAC} + widehat{BMD} + widehat{CMD} = 180^{0} hay widehat{BAC} + widehat{BMC} = 180^{0} . Do đó, tứ giác ABMC nội tiếp được, tức là điểm M cũng nằm trên đường tròn (O).

c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng MD và đường tròn (O). Ta có widehat{IDC} = widehat{CMD} + widehat{MCD} = widehat{ACD} + widehat{MCD} = widehat{ACM} . Ta lại có widehat{AIM} = widehat{ACM} (góc nội tiếp cùng chắn cung AM). Do đó, widehat{IDC} = widehat{AIM} , nghĩa là AI // BC.

Tam giác ABC cho trước và AI // BC nên I là điểm cố định (I là giao điểm của đường thẳng đi qua A song song với BC và đường tròn ngoại tiếp ΔABC ).

c) Ta có ΔAEB đồng dạng với ΔACF (vì widehat{AEB} = widehat{ACF} , widehat{BAE} = widehat{FAC} ).

Do đó AE/AC = AB/AF hay AE.AF = AB.AC.

e) Kẻ tia PO cắt đường tròn (O) tại H và K (H nằm giữa p và O). Gọi độ dài PC là x (x > 0). Ta có PB.PC = PH.PK (do ΔPBK đồng dạng với ΔPHC), tức là

Từ đó ta có phương trình x^{2} – 19x – 330 = 0.

Giải ra ta được nghiệm x = 30 là thích hợp.

Vậy độ dài PC là 30 cm.

BÀI TẬP

193. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15 cm, BC = 25 cm. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC ở D. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) ở N, cắt BC ở E.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính chu vi tam giác ADB.

c) Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.

d) Gọi I là trung điểm của MN, chứng minh rằng widehat{OIO'} = 90^{0} .

194. Trên hai cạnh Ax và Ay của góc vuông xAy, ta lấy lần lượt các điểm B và C sao cho AB = AC. M là một điểm nằm giữa B và C. Vẽ đường tròn (O_{1} ) đi qua M và tiếp xúc với Ax tại B. Vẽ đường tròn (O_{2} ) đi qua M và tiếp xúc với Ay tại C. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh rằng đường thẳng O_{1} N tiếp xúc với đường tròn (O_{2} ).

b) Khi điểm M chuyển động trên đoạn CB, tâm của hai đường tròn đó chuyển động trên những đường nào ?

c) Gọi D là giao điểm của BO_{1} và CO_{2} . Chứng minh rằng năm điểm A, B, N, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

d) Chứng minh rằng tổng hai bán kính của hai đường tròn (O_{1} ) và (O_{2} ) bằng một độ dài không đổi.

e) Hai tia phân giác của các góc xAy và ABC cắt nhau ở E, cắt BC ở P, cắt Ay ở Q. Chứng minh rằng PE/EA = AQ/QC.

195. Cho tam giác vuông cân ABC (BA = BC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cung AC chứa đỉnh B, lấy một điểm D tuỳ ý. Trên tia đối của tia DA, lấy một điểm E sao cho DE = DC.

a) Tìm quỹ tích các điểm E.

b) Chứng minh rằng AD + DC ≤ 2AB. Từ đó, hãy tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất trong các hình chữ nhật nội tiếp đường tròn (O).

196. Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 2α (0^{0} < α < 45^{0} ) và AC = 2R. Vẽ nửa đường tròn tâm o đường kính AC ở phía ngoài tam giác ABC. Gọi D là một điểm trên nửa đường tròn sao cho widehat{ACD} = α . Kẻ DK vuông góc với AC và DH vuông góc với BA.

1) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo R và a rồi sau đó theo R và 2a. Từ đó chứng minh các hệ thức

2) Cho α = 30^{0} ; R = 6 cm.

a) Chứng minh rằng BC.CD = 144 (cm^{2} ).

b) Tính diện tích tam giác ACD rồi từ đó suy ra diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích của phần nửa hình tròn đường kính AC ở ngoài tam giác ACD.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Bình luận
0

Bình luận