Tứ giác nội tiếp – Bài tập bổ trợ và nâng cao Toán 9

| Tin mới | Tag:
Rate this post

Tứ giác nội tiếp

A.Ví dụ

Ví dụ 1.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp. AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. AC cắt BD tại K. Chứng minh rằng :

IA.IB = IC.ID và KA.KC = KB.KD.

Loading…

Giải:

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B,C,D.

=> góc BAG = góc BDC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

Mà AC cắt BD tại K nên BAK = KDC,

AB cắt CD tại I nên góc IAC = góc IDB.

Xét ∆IAC và ∆IDB có góc I chung và góc IAC = góc IDB (cmt)

nên ∆IAC ∼ ∆IDB (g.g)

Ví dụ 2.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB < 2.CD). M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. MC, MD lần lượt cắt AB tạỉ E, F. Các đường thẳng MC, AD cắt nhau tại I ; MD, BC cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rằng IKCD, EFDC là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng IK // AB.

Giải:

a) Vì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt) nên MA = MB

=>góc ADM = góc MCB (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).

Mà 2 góc này cùng nhìn IK và D, C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ IK nên I, K, C,

D cùng thuộc một đường tròn.

=> Tứ giác IKCD nội tiếp (theo định nghĩa) – đpcm.

nên góc EFD + góc ECD = 180°, mà 2 góc này là hai góc đối diện của tứ giác FECD nên FECD là tứ giác nội tiếp (định lí dấu hiệu nhận biết).

Vì tứ giác IKCD nội tiếp nên :

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AB // IK (đpcm).

B. Bài tập cơ bản

Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án đúng (7.1; 7.2).

Bài 7.1.

Trong các nhận xét sau, nhận xét nào không đúng ?

A. Một tam giác bất kì nội tiếp một đường tròn.

B. Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp.

C. Hình thang nội tiếp được đường tròn.

D. Tứ giác có hai góc đối là góc vuông nội tiếp được đường tròn.

E. Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối 2 đỉnh còn lại với hai góc bằng nhau thì nội tiếp được đường tròn.

Bài 7.2.

Cho hình vẽ bên, biết :

góc ECB = x ; góc BDF = 2x. Khi đó FÂB có số đo là :

(A) 120° (B) 60°

(C) 90° (D) Không tính được.

Bài 7.3.

Cho ∆ABC nội tiếp (O) có Â = 60°. Hai đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại I.

Chứng minh rằng : tứ giác có 4 đỉnh B, I, O, C là tứ giác nội tiếp.

Bài 7.4.

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B. Trên Oy lấy hai điểm C, D sao cho : OA.OB = OC.OD. Chứng minh rằng : A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ giác nội tiếp.

Bài 7.5.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E ; AD cắt BC tại F. Đường tròn ngoại tiếp ∆ABF cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BCE tại G. Chứng minh rằng : E, F, G thẳng hàng.

C. Bài tập nâng cao

Bài 7.6.

Cho đường tròn (O), điểm A ở ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC của (O) (B, c là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của M lên CB, BA, AC. IH cắt BM tại D, MC cắt IK tại E. Chứng minh rằng DE ⊥ MI.

Bài 7.7.

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cố định cắt nhau tại hai điểm A, B. Qua B kẻ cát tuyến bất kì EBG (E ∈ (O), G ∈ (O’)). Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với AB (C ∈ (O), D ∈ (O’)). Gọi I, H lần lượt là trung điểm của CD và EG.

a) Chứng minh rằng ABHI nội tiếp.

b) Tìm vị trí của cát tuyến EBG để HA có độ dài lớn nhất.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Bình luận
0

Bình luận