Phương trình đường thẳng – Các dạng toán cơ bản – Sách bài tập hình học 12

Ngày 15/08 năm 2018 | Tin mới | Tag:

Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng – Hình học 12. Các dạng toán cơ bản về phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ 1. Phương pháp giải Bước 1 : Xác định một điểm cố định M0(x0; y0;...

Rate this post

Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng – Hình học 12.

Các dạng toán cơ bản về phương trình đường thẳng

VẤN ĐỀ 1.

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ

1. Phương pháp giải

Bước 1 : Xác định một điểm cố định M0(x0; y0; z0) thuộc Δ.

Bước 2 : Xác định một vectơ chỉ phương overrightarrow{a} (a1; a2; a3) của Δ.

Bước 3 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của Δ lần lượt có dạng

2. Ví dụ:

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua hai điểm A( 1 ; 2 ; 3), 5(3 ; 5 ; 7).

Giải

VẤN ĐỀ 2:

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Δ và Δ’ trong không gian

Bước 2 : Xác định một vectơ chỉ phương overrightarrow{a} (a1; a2; a3) của Δ.

1. Phương pháp giải

Bước 1 : Xác định điểm cố định M0(x0; y0; z0) và vectơ chỉ phương overrightarrow{a} (a1; a2; a3) của Δ . Xác định điểm cố định M’0(x’0; y’0; z’0) và vectơ chỉ phương overrightarrow{a'} (a’1; a’2; a’3) của Δ’ (h.3.13).

Bước 2 : Tính overrightarrow{n} = overrightarrow{a} overrightarrow{a'} .

Bước 3: Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ’:

2.Ví dụ

Ví dụ 1.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng

với các đường thẳng sau

Giải:

Ta có đường thẳng Δ đi qua điểm M0 (1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} = (2 ; 3 ; 1).

a) d1 đi qua điểm M1( 3; 2; 6) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} = (2; 3 ; 1)

Ví dụ 2. Cho đường thẳng:

a) Hãy xét vị trí tương đối giữa d và d’.

b) Tìm giao điểm nếu có của d và d’.

Giải:

Các giá trị của t, t’ này thoả mãn (3). Do đó hệ phương trình (I) có một nghiệm.

Vậy d cắt d’

b) Thay t = 0 vào pt tham số của d’ ta được giao điểm là M( 3; 0 ; -1).

VẤN ĐỀ 3:

Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} (a1; a2; a3) và cho mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát

Ax + By + Cz + D = 0.

Gọi overrightarrow{n} (A ; B ; C) là vectơ pháp tuyến của (α). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) ta có các cách sau :

Cách 1. Xét tích vô hướng overrightarrow{n} .overrightarrow{a} và thay toạ độ của điểm M0 vào phương trình của (α) để kiểm tra, ta có các trường hợp sau.

Cách 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d :

Thay x,y,z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 ta được

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

Trường hợp 1 : (1) vô nghiệm

<=> d. song song với (α).

Trường hợp 2 (1) có một nghiệm t = t0.

<=> d cắt (α) tại điểm M0(x0 + t0a1 ; y0 + t0a2 ; z0 +t0a3 )

Trường hợp 3 : (1) có vô số nghiệm

<=> d nằm trong (α)

Trường hợp 4 : (A; B ; C) = k(a1 ; a2; a3)

<=> d vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Mẩu 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ

(a1): x + y + z + 2 = 0 ;

(a2): 4x + 8y + 2z – 7 = 0 ;

(a3) : x – y + 2z + 5 = 0 ;

(a4): 2x – 2y + 4z – 10 = 0.

Giải

Đường thẳng Δ đi qua điểm M0( 1 ; 2 ; 3) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} = (2 ; 4 ; 1). Các mặt phẳng (α1), (α2), (α3), (α4) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

overrightarrow{n_{1}} = (! ; 1; 1), overrightarrow{n_{2}} = (4 ; 8 ; 2), overrightarrow{n_{3}} = (1; -1 ; 2), overrightarrow{n_{4}} = (2 ; -2 ; 4).

Ta có :

Vậy đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α4).

Ví dụ 2.

và mặt phẳng (α): x + 2y + z – 1= 0.

Chứng minh rằng d cắt (à) và tìm toạ độ giao điểm.

Giải

Thay x, y, z ở phương trình trên vào phương trình tổng quát của (α) ta được :

(1 + 21) + 2(-l + t) + (-t) – 1 = 0 (1)

<=>3t = 2<=> t = 2/3.

Phương trình (1) có một nghiệm t0 = 2/3, vậy d cắt (α) tại điểm



VẤN ĐỀ 4:

1. Phương pháp giải

Tính khoảng cách

Loại 1. Khoảng cách từ điểm A(xA; yA; zA) đến đường thẳng Δ :

Cách 1

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A và vuông góc với Δ

Tìm giao điểm H của A và (α)

Tính d(A,Δ) =AH .

Cách 2

Loại 2. Khoảng cách giữa đường thẳng

và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 song song với Δ

Loại 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1

Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’ ta được (α) :

Ax + By + Cz + D = 0.

* Lấy điểm M’0(x’0 ; y’0 ; z’0) thuộc Δ’ .

Cách 2

Xác định điểm M0 ∈ Δ và điểm M’ ∈ Δ’.

Xác định hai vectơ overrightarrow{a} overrightarrow{a'} là hai vectơ chỉ phương của Δ và Δ’.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2 ; 1) đến đường thẳng Δ:

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với Δ.

Ta có : overrightarrow{n_{alpha}} = overrightarrow{n_{triangle}} = (1; 2 ; -2)

Vậy pt của (α) là 1(x-1) + 2(y-2) -2(z-1) =0 hay x + 2y – 2z -3 = 0.

Vậy (α) cắt Δ tại điểm:

Cách 2:

Δ đi qua M0( -2 ; 1 ; -1) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} =( 1; 2 ; -2)

Ví dụ 2.Cho mp (α) : 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng Δ :

a) Hãy chứng tỏ Δ song song với (α).

b) Tính khoảng cách giữa Δ và (α).

Giải:

a) Ta có : overrightarrow{n_{alpha}} = ( 3 ; -2 ; -1)

overrightarrow{a_{alpha}}

Δ đi qua điểm M0 ( 1; 7; 3)

Ta có : overrightarrow{n_{alpha}} . overrightarrow{a_{alpha}} = 6 – 2 -4 =0 và Mo ∉ (α).

Có thể bạn quan tâm