Phần nâng cao – Góc – Ôn thi vào lớp 10 – Hình học

| Tin mới | Tag:
Rate this post

Phần nâng cao bài toán về góc

Tập hợp các điểm nằm trên một cung chắn góc

Phần nâng cao bài toán về góc

Các bước giải bài toán tìm quỹ tích các điểm M nằm trên một cung chắn góc

Phần nâng cao bài toán về góc

Bước 1: Phần thuận: Từ giả thiết của bài toán ta suy ra góc AMB bằng 90^0 . Thì quỹ tích các điểm M là hai cung tròn chứa góc α0 dựng trên đoạn AB, đối xứng nhau qua AB.

Bước 2: Giới hạn quỹ tích:

Từ giả thiết của bài toán ta xét xem điểm M có chạy trên cả cung tròn hay chỉ chạy trên một phần của cung tròn.

Bước 3: Phần đảo: Chứng minh quỹ tích:

Giả sử điểm M là điểm thuộc cung chắn góc α0 dựng trên đoạn AB.

Chứng minh điểm M thỏa mãn tính chất của đề tài.

Bước 4: Kết luận về quỹ tích của điểm M sau khi đã giới hạn.

II. Bài tập mẫu

Bài 1. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) cố định. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB (M khác A, B). Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB. Tìm quỹ tích điểm N.

Giải

– Phần thuận

Ta có:

Phần nâng cao bài toán về góc

△BMN có MB = MN (gt) và góc BMN bằng 60^0 nên △BMN là tam giác đều.

Phần nâng cao bài toán về góc

Vậy, N di động trên cung chứa góc 60^0 dựng trên đoạn AB cố định.

– Giới hạn quỹ tích:

Ta có: góc ANB bằng 60^0

Gọi I là điểm chính giữa của cung AB nhỏ của đường tròn (O).

⇒ góc AIB bằng 120^0 (góc ở tâm)

Phần nâng cao bài toán về góc

Do đó: N thuộc cung chứa góc 60^0 dựng trên đoạn AB cố định của đường tròn tâm I bán kính IA = R

Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), cắt đường tròn (I) tại K

⇒ Qũy tích điểm N là cung nhỏ BK của đường tròn (I, R) cố định

– Phần đảo: Chứng minh: MN = MB

Lấy điểm N thuộc cung nhỏ BK của đường tròn (I, R)

Ta có:

Phần nâng cao bài toán về góc

Mà đường tròn (O) và đường tròn (I) bằng nhau nên cung AB của đường tròn (I) bằng 120^0

Phần nâng cao bài toán về góc

Từ (1) và (2) suy ra: △BMN đều ⇒ MN = MB (đpcm)

– Kết luận:

Vậy quỹ tích điểm N là cung nhỏ BK của đường tròn (I, R) cố định.

Bài 2. Một tam giác ABC có B và C cố định. A di động sao cho góc BAC bằng 60^0 ; góc ABC và góc ACB đều nhọn.

a. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

b. Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải

a. Tìm tập hợp trực tâm H của △ABC

– Phần thuận:

Đường cao BD và CE cắt nhau tại H là trực tâm △ABC

⇒ Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

⇒ góc DHE bằng 120^0

⇒ góc BHC bằng 180^0

Do đó H thuộc cung chứa góc 120^0 dựng trên đoạn BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.

Phần nâng cao bài toán về góc

– Giới hạn

Vì góc B và góc C đều nhọn nên tập hợp chỉ là góc BOC (bỏ B và C)

Thực vậy, để góc B nhọn thì A chỉ di chuyển đến A2 là giao điểm của cung BAC với đường thẳng Bx ⊥ BC

Tương tự: để góc B nhọn thì A chỉ di chuyển đến A1 là giao điểm của cung BAC với đường thẳng Cy ⊥ CB

Phần nâng cao bài toán về góc

– Phần đảo:

Gọi H là điểm trên cung BOC. Các đường thẳng qua B vuông góc với CH và qua C vuông góc với BH cắt nhau tại A

Ta có: góc BHC bằng 120^0 nên góc DHE bằng 120^0

⇒ góc BAC bằng 60^0 (thỏa mãn đề bài)

– Kết luận: Tập hợp những điểm H là cung BOC chứa góc 120^0 dựng trên đoạn BC (bỏ B và C).

b. Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp △ABC

– Phần thuận:

Tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại I

△BIC có:

Vậy góc BIC bằng 120^0

Phần nâng cao bài toán về góc

Do đó: Tập hợp những điểm I là cung chứa góc 120^0 dựng trên đoạn BC.

– Giới hạn:

Vì góc B và góc C đều nhọn nên:

Phần nâng cao bài toán về góc

Phần nâng cao bài toán về góc

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Một điểm A di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính BC cố định. Đường thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác ngoài gcos BCA của tam giác ABC tại D. Tìm quỹ tích các điểm D.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh AB (I khác A, B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F.

Bài 3. Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc BAD bằng 45^0 , góc ABC bằng góc ADC bằng 90^0 . Gọi E là giao điểm của BC và AD, F là giao điểm của BC và AB. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Bài 4. Một điểm M di động trên cung AB của một đường tròn cố định. H là trực tâm tam giác MAB. Đường tròn tâm H, bán kính HM cắt MA tại P và cắt MB tại Q.

a. Chứng tỏ △PMB cân.

b. Tìm tập hợp các điểm P và Q.

Bài 5. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Gọi (O) là một đường tròn đi qua hai điểm B và C. Kẻ các tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O) (E, F là tiếp điểm). Chứng minh EF nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.

Bài 6. Cho đường tròn (O, R). A và B là hai điểm cố định trên đường tròn (AB < 2R). M là điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn. Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn tại N. Gọi J là trung điểm NB. Chứng minh khi M thay đổi thì mỗi điểm I, J đều chạy trên một đường tròn cố định.

Bài 7. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Các đường thẳng d1 và d2 vuông góc với AB tương ứng tại A và B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d1 tại M, cạnh kia cắt d2 tại N. Kẻ OH vuông góc với MN. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB cắt d1 tại điểm thứ hai E (E khác M), MB cắt NA tại I, đường thẳng HI cắt EB tại K. Chứng minh K nằm trên một đường tròn cố định khi góc vuông quay xung quanh O.

Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Tags:Các dạng toán ôn thi vào 10

Bình luận
0

Bình luận