Hướng dẫn giải bài 2.28 trang 65 sách bài tập hình học 12

Ngày 14/03 năm 2019 | Tin mới | Tag:

Bài 2.28 trang 65 sách bài tập hình học 12 Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc...

Rate this post

Bài 2.28 trang 65 sách bài tập hình học 12

Cho hai đường thẳng ΔΔ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δvà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là α. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt ΔΔ lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, αα và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải

(h.2.50)

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δnên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc Δ mà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên (P) nên M1 thuộc d. Vì MAAA=>M1AAA

Mặt khác M1AMA nên ta suy ra M1A(AAM). Do đó M1AMA và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1.

Ta có MA(P) nên MAAM1, ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M1

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra MM1(Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó M1MMM

Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M1.

Ta có

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng MM1/2 nên

b) Hình tứ giác A’M’MM1 là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng Δ. Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.

Có thể bạn quan tâm