Hướng dẫn giải bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

| Tin mới | Tag:
Rate this post

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình (d):

ÔN CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hướng dẫn giải

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Đầu tiên, ta tìm điểm H, hình chiếu vuông góc của điểm Δ trên đường thẳng Δ.

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} = (2; -1; 2).

Điểm H thuộc Δ nên H có toạ độ là (1 + 2t; -1 -1; 2t).

Từ đó suy ra:

overrightarrow{AH} = (1 + 2t – 1; -1 – t + 2; 2t + 5) = (2t; 1 – t; 2t + 5)

Để H là hình chiếu của A trên Δ thì AH ⊥ Δ. Khi đó:

overrightarrow{AH} overrightarrow{a} <=> overrightarrow{AH} .overrightarrow{a} = 0 <=> 9t + 9 = 0 <=> t = -1.

Do vậy toạ độ của điểm H là:

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

A và A’ đối xứng với nhau qua đường thẳng Δ nên H là trung điểm của đoạn thẳng AA’. Suy ra overrightarrow{AA'} = 2overrightarrow{AH} .

Gọi (x; y; z) là toạ độ của A’. Ta có: overrightarrow{AA'} = (x – 1; y + 2; z + 5)

Mặt khác A(1; -2; -5), H(-1; 0; -2) nên overrightarrow{AH} = (-2; 2; 3).

Theo trên thì overrightarrow{AA'} = 2overrightarrow{AH} nên ta có hệ sau:

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Chú ý:

Ta có thể tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng Δ bằng cách xem H là giao điểm của Δ với mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với Δ. Với cách làm này, ta cần thực hiện hai bước như sau:

– Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với A;

– Tìm toạ độ giao điểm H của (α) và Δ.

Đối với bài này, ta có:

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương overrightarrow{a} = (2;—1; 2).

Mặt phẳng (α) vuông góc với A nên nhận overrightarrow{a} làm vectơ pháp tuyến.

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Mà (α) đi qua điểm A(1; -2; -5) nên (α) có phương trình là:

2(x – 1) – 1(y + 2) + 2(z + 5) = 0 <=> 2x – y + 2z + 6 = 0.

Để tìm giá trị tham số t ứng với giao điểm H của (α) và Δ ta giải phương trình sau:

2(1 + 2t)-(-1 – t) + 2.2t + 6 = 0 <=> 9t + 9 = 0<=>t = -1.

Như vậy ta có toạ độ điểm H là:

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Vì A’ là điểm đối xứng của A qua Δ nên:

overrightarrow{AA'} = 2overrightarrow{AH} nên ta có hệ sau:

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Bình luận
0

Bình luận