Hệ tọa độ trong không gian – Kiến thức cơ bản – Giải bài tập Hình học 12

Ngày 16/03 năm 2019 | Tin mới | Tag:

KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Hệ tọa độ Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau x′Ox;y′Oy;z′Oz. Hệ thống ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz; O là gốc tọa tọa độ. Giả sử ; ; lần lượt là...

Rate this post

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Hệ tọa độ

Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau xOx;yOy;zOz. Hệ thống ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz; O là gốc tọa tọa độ. Giả sử overrightarrow{i} ; overrightarrow{j} ; overrightarrow{k} lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx,yOy,zOz.

2. Toạ độ giao điểm

Trong không gian, cho hệ trục toạ độ Oxyz và một điểm M tùy ý. Khi đó i, j, k không đồng phẳng nên tồn tại duy nhất một bộ ba số sao cho overrightarrow{OM} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j} + zoverrightarrow{k} .

Ta nói bộ ba số (x; y; z) là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết M(x; y; z) hoặc M = (x; y; z).

Như vậy M(x;y;z) <=> overrightarrow{OM} = x overrightarrow{i} +y overrightarrow{j} + z overrightarrow{k} .

3. Toạ độ của vectơ

Trong không gian Oxyz cho vectơ overrightarrow{a} , ta luôn có overrightarrow{a} = a1overrightarrow{i} + a2overrightarrow{j} + a3$latexoverrightarrow{k} $. Khi đó bộ ba số (a1; a2; a3) được xác định duy nhất và được gọi là toạ độ của vectơ overrightarrow{a} đối với hệ trục toạ độ Oxyz. Ta viết như sau:

overrightarrow{a} =(a1;a2;a3) hoặc overrightarrow{a} (a1;a2;a3).

Như vậy thì: overrightarrow{a} = (a1;a2;a3)=> overrightarrow{a} = a1overrightarrow{i} + a2overrightarrow{j} + a3overrightarrow{k} .

Xem thêm: Bài tập hệ tọa độ trong không gian tại đây.

4. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

– Định lí

Đối với hệ trục Oxyz, nếu có hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và overrightarrow{b} (b1;b2;b3) thì ta có:

overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (a1 +b1; a2 +b2; a3 +b3).

overrightarrow{a} overrightarrow{b} = (a1 – b1; a2 – b2; a3 – b3) .

k overrightarrow{a} = k(a1;a2;a3) = (ka1;ka2;ka3) với k ∈ R.

– Hệ quả

Cho hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và overrightarrow{b} (b1;b2;b3). Ta có: overrightarrow{a} = overrightarrow{b} <=> a1 = b1; a2 = b2; a3 =b3.

+ Vectơ overrightarrow{0} có toạ độ là (0; 0; 0).

+ Với overrightarrow{b} overrightarrow{0} thì hai vectơ overrightarrow{a} overrightarrow{b} cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: a1 = kb1 ; a2 = kb2; a3 = kb3.

+ Trong không gian Oxyz, nếu hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) thì:

overrightarrow{AB} = (xB – xA; yB – yA; zB – zA).

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

5. Tích vô hướng (Biểu thức toạ độ của tích vô hướng)

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và

overrightarrow{b} (b1;b2;b3) được xác định bằng công thức sau: overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3.

Như vậy:

Cho overrightarrow{a} (a1; a2; a3), độ dài vectơ overrightarrow{a} là:

Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) Ta có:

Gọi φ là góc giữa hai vectơ overrightarrow{a} (a1;a2;a3) và overrightarrow{b} (b1;b2;b3)

với a, b ≠ 0 thì:

6. Phương trình mặt cầu

– Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình là:

– Phương trình dạng:

là phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) có bán kính r bằng sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}-D} .

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Có thể bạn quan tâm