Hai đường thẳng vuông góc – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Ngày 13/03 năm 2019 | Tin mới | Tag:

Hai đường thẳng vuông góc A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Góc giữa hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ khác vectơ – không và . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho = , = . Khi đó ta gọi góc BAC ( ≤ BÂC ≤...

Rate this post

Hai đường thẳng vuông góc

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ khác vectơ – không overrightarrow{u} overrightarrow{v} . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho overrightarrow{AB} = overrightarrow{u} , overrightarrow{AC} = overrightarrow{v} .

Khi đó ta gọi góc BAC (0^{0} ≤ BÂC ≤ 180^{0} ) là góc giữa hai vectơ overrightarrow{u} overrightarrow{v} trong không gian, kí hiệu là (overrightarrow{u} , overrightarrow{v} ).

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ overrightarrow{u} overrightarrow{v} đều khác vectơ – không.

Biểu thức:

overrightarrow{u} .overrightarrow{v} =|overrightarrow{u} |.|overrightarrow{v} |. cos(overrightarrow{u} , overrightarrow{v} ) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ overrightarrow{u} overrightarrow{v} .

Tích vô hướng là một số.

Nếu overrightarrow{u} = 0 hoặc overrightarrow{v} = 0 thì ta quy ước overrightarrow{u} .overrightarrow{v} = 0.

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ overrightarrow{a} khác vectơ – không được gọi là vectơ chi phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ overrightarrow{a} song song hoặc trùng với đường thẳng d.

– Nếu overrightarrow{a} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vectơ koverrightarrow{a} với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

– Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương overrightarrow{a} của nó.

– Hai đường thẳng song song với nhau khi và chi khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chi phương cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

Hai đường thẳng vuông góc

Chú ý:

– Điểm O có thể lấy trên một trong hai đường thẳng a và b.

– Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90^{0} .

– Nếu overrightarrow{u_{1}} , overrightarrow{u_{2}} lần lượt là vectơ chỉ phương của a, b và (overrightarrow{u_{1}} , overrightarrow{u_{2}} ) = α thì góc (a; b):

– Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0^{0} .

4. Hai đường thẳng vuông góc

Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nêu góc giữa chúng bằng 90^{0} .

Khi đó, ta kí hiệu a ⊥ b hoặc b ⊥ a.

Nhận xét:

– Nếu overrightarrow{u} , overrightarrow{v} lần lượt là hai vectơ chỉ phương của a, b thì a ⊥ b <=> overrightarrow{u} .overrightarrow{v} = 0.

– Nếu a song song với b và c vuông góc với một trong hai đường thẳng b thì c vuông góc với đường thẳng còn lai.

– Nếu a và b vuông góc với nhau thì a và b có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương pháp tính

– Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc vói nhau, ta chỉ cần chứng minh: overrightarrow{AB} .overrightarrow{CD} = 0.

– Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b trong không gian, ta có thể áp dụng một trong hai cách sau đây:

+ Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a, b; đưa vào một tam giác; sử dụng các hệ thức trong tam giác (hay sử dụng nhất là định lí Cô-sin).

+ Lấy các vectơ overrightarrow{u} , overrightarrow{v} cùng phương với a, b; biểu diễn overrightarrow{u} , overrightarrow{v} qua các vectơ đã biết độ dài và góc, tính cos(overrightarrow{u} , overrightarrow{v} ) rồi suy ra góc (a; b) bằng công thức cos(a; b) = |cos(overrightarrow{u} , overrightarrow{v} )|.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 97 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì overrightarrow{EG} = overrightarrow{AC} nên ta có:

(overrightarrow{AB} , overrightarrow{EG} ) = (overrightarrow{AB} , overrightarrow{AC} ) = 45^{0} .

Vì tam giác ACF đều nên ta có:

(overrightarrow{AF} , overrightarrow{EG} ) = (overrightarrow{EF} , overrightarrow{AC} ) = 60^{0} .

Ta có:

(overrightarrow{AB} , overrightarrow{DH} ) = (overrightarrow{AB} , overrightarrow{AE} ) = 90^{0} .

Bài 2 trang 97 sách giáo khoa Hình học 11

overrightarrow{AB} .overrightarrow{CD} = overrightarrow{AB} .(overrightarrow{AD} overrightarrow{AC} )

overrightarrow{AC} .overrightarrow{BD} = overrightarrow{AC} .(overrightarrow{AB} overrightarrow{AD} )

overrightarrow{AD} .overrightarrow{BC} = overrightarrow{AD} .(overrightarrow{AC} overrightarrow{AB} )

Suy ra overrightarrow{AB} .overrightarrow{CD} + overrightarrow{AC} .overrightarrow{BD} + overrightarrow{AD} .overrightarrow{BC}

= overrightarrow{AB} .(overrightarrow{AD} overrightarrow{AC} ) + overrightarrow{AC} .(overrightarrow{AB} overrightarrow{AD} ) + overrightarrow{AD} .(overrightarrow{AC} overrightarrow{AB} )

= overrightarrow{AB} .overrightarrow{AD} overrightarrow{AB} .overrightarrow{AC} + overrightarrow{AC} .overrightarrow{AB} overrightarrow{AC} .overrightarrow{AD} + overrightarrow{AD} .overrightarrow{AC} overrightarrow{AC} .overrightarrow{AD}

= (overrightarrow{AB} .overrightarrow{AD} overrightarrow{AD} .overrightarrow{AB} ) + (overrightarrow{AC} .overrightarrow{AB} overrightarrow{AB} .overrightarrow{AC} ) + (overrightarrow{AD} .overrightarrow{AC} overrightarrow{AC} .overrightarrow{AD} ) = 0.

b) Nếu AB ⊥ CD và AC ⊥ BD thì overrightarrow{AB} .overrightarrow{CD} = overrightarrow{AC} .overrightarrow{BD} = 0.

Theo a) ta có overrightarrow{AB} .overrightarrow{CD} + overrightarrow{AC} .overrightarrow{BD} + overrightarrow{AD} .overrightarrow{BC} = 0.

Suy ra khi đó overrightarrow{AD} .overrightarrow{BC} = 0. Vậy AD ⊥ BC.

Bài 3 trang 97 sách giáo khoa Hình học 11

a) a và b nói chung không song song.

b) a và c nói chung không vuông góc.

Bài 4 trang 98 sách giáo khoa Hình học 11

Hai đường thẳng vuông góc

a) Ta có:

overrightarrow{CC'} .overrightarrow{AB} = (overrightarrow{AC'} overrightarrow{AC} ).overrightarrow{AB} = overrightarrow{AC'} .overrightarrow{AB} overrightarrow{AC} .overrightarrow{AB}

Đặt AB = x.

Tam giác ABC và tam giác ABC’ là hai tam giác đều nên AC’ = AB = AC = x.

Do đó:

overrightarrow{AC'} .overrightarrow{AB} = x.x.cos 60^{0} ;

overrightarrow{AC} .overrightarrow{AB} = x.x.cos 60^{0} .

Suy ra:

overrightarrow{CC'} .overrightarrow{AB} = (overrightarrow{AC'} overrightarrow{AC} ).overrightarrow{AB} = overrightarrow{AC'} .overrightarrow{AB} overrightarrow{AC} .overrightarrow{AB}

= x.x.cos 60^{0} – x.x.cos 60^{0} = 0.

Vậy CC’ ⊥ AB.

b) Bởi vì MN // AB và PQ // AB nên MN // PQ.

Mà MQ // CC’ và PN // cc’ nên MQ//PN.

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác MN ⊥ PN (vì AB ⊥ CC’).

Như vậy hình bình hành MNPQ là một hình chữ nhật.

Bài 5 trang 98 sách giáo khoa Hình học 11

Theo giả thiết:

Hai đường thẳng vuông góc

Bài 6 trang 98 sách giáo khoa Hình học 11

Hai đường thẳng vuông góc

Ta có:

overrightarrow{AB} .overrightarrow{OO'} = overrightarrow{AB} .(overrightarrow{AO'} overrightarrow{AO} )

=overrightarrow{AB} .overrightarrow{AO'} overrightarrow{AB} .overrightarrow{AO}

= AB.AO’.cos 45^{0} – AB.AO.cos 45^{0}

= 0

Suy ra AB ⊥ OO’.

Lại có CD // C’D’ và CD = C’D’ nên tứ giác CDD’C’ là hình bình hành.

Mà CC’ // OO’ nên CC’ ⊥ AB hay CC’ ⊥ CD.

Vậy hình bình hành CDD’C’ là hình chữ nhật.

Bài 7 trang 98 sách giáo khoa Hình học 11

Ta có:

Hai đường thẳng vuông góc

Bởi vì:

Hai đường thẳng vuông góc

Do đó:

Bài 8 trang 98 sách giáo khoa Hình học 11

Suy ra AB ⊥ CD.

b) Ta có:

Suy ra MN ⊥ AB.

Tương tự ta có:

Vậy MN ⊥ CD.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Có thể bạn quan tâm