Đáp án bài Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Sách Bài tập Toán 9 Tập 1, phần Hình học

Ngày 17/06 năm 2018 | Tin mới | Tag:

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 48. (h.121) a) AM = AN, AO là tia phân giác của góc A (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại A). Tam giác AMN cân tại A, AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ MN. b) Gọi H là giao điểm của MN và AO. Ta có MH = HN, CO = ON nên HO là đường trung bình...

Rate this post

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

48. (h.121)

a) AM = AN, AO là tia phân giác của góc A (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại A).

Tam giác AMN cân tại A, AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ MN.

b) Gọi H là giao điểm của MN và AO. Ta có MH = HN, CO = ON nên HO là đường trung bình của tam giác MNC. Suy ra HO // MC, do đó MC // AO.

c) AN^2 = AO^2 ON^2 = 5^2 3^2 = 16 => AN = 4(cm).

Ta có : AO.HN = AN.NO

=> 5.HN = 4.3 => HN = 2,4 (cm).

Do đó MN = 4,8cm.

Vậy AM = AN = 4cm ; MN = 4,8cm.

49. (h.122)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau,

PI = PD và QI = QE.

Chu vi tam giác MPQ bằng :

MP + PQ + MQ = MP + PI + IQ + MQ

= MP + PD + QE + MQ

= MD + ME = 8(cm).

50. (h.123)

Phân tích. Giả sử đã dựng được đường tròn (I) đi qua A, và tiếp xúc với Ox, Oy.

Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox, Oy nên I nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox tại A.

Giao điểm của hai đường trên cho ta điểm I.

Học sinh tự trình bày phần Cách dựngChứng minh.

51. (h.124)

a) Gọi H là tiếp điểm của MN với nửa x đường tròn. Theo tính chất hai tiếp tuyến

cắt nhau :

OM là tia phân giác của góc AOH, ON là M tia phân giác của góc BOH, hai góc đó kề

bù nên widehat{MON} = 90°.

b) Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau :

AM = HM, BN = HN (1)

nên MN = HM + HN = AM + BN.

c) Từ (1) suy ra AM.BN = HM.HN.

Ta lại có HM.HN – OH^2 = R^2 (hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O). Do đó AM.BN = R^2 .

52. (h 125)

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau : AD = AE, BE = BF, CF = CD.

Ta có:

AD + AE = AC + AB – (BE + CD)

= AC + AB – (BF + CF)

= AC + AB – BC

= b + c – a.

53. (h.126)

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC. Đường phân giác AI cũng là đường cao nên A, I, H thẳng hàng, HB = HC,

widehat{HAC} = 30° , AH = 3.IH = 3r.

54. (h.127)

a) Tam giác ABC cân tại A có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO :

OB^2 = OA.OH

=> 3^2 = 5 – OH

=> OH = 1,8 (cm).

b) Đáp số: Chu vi tam giác ADE bằng 2AB = 8(cm).

55. (h. 128)

a) Tứ giác ABOC có ba góc vuông riên là hình chữ nhật, lại có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

b) Chu vi tam giác ADE bằng

AB + AC = 4cm.

Chú ý : Có thể sử dụng kết quả của câu b) bài 54.

c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau :

widehat{O_1} = widehat{O_3} = (1/2). widehat{MOB} ,

widehat{O_2} = widehat{O_4} = (1/2). widehat{MOC} nên widehat{O_1} + widehat{O_2} = (1/2). widehat{BOC} = 45°.

Vậy widehat{DOE} = 45°

56. (h.129)

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau :

widehat{A_1} = widehat{A_2} , widehat{A_3} = widehat{A_4} nên

widehat{DAH} + widehat{HAE} = 2(widehat{A_2} + widehat{A_3} ) = 180°.

Vậy D, A, E thẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC.

MA là đường trung bình của hình thang BDEC nên MA // BD. Do đó MA ⊥ DE.

Ta lại có MA = MB = MC nên MA là bán kính của đường tròn có đường kính BC (tâm M).

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC.

57. (h.130)

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có

58. (h.131)

a) Tứ giác ADOE là hình vuông.

b) Theo bài 52 ta có

Gọi r là bán kính đường tròn (O). Do ADOE là hình vuông nên AD = AE = r. Ta tính được BC = 5cm. Do đó

59. (Vẫn dùng hình 131)

Ta có BC = 2R, AD = AE = r, nên

2R + 2r = BC + (AE + AD)

= (BF + FC) + (AE + AD)

= (DB + EC) + (AE + AD)

= (AD + DB) + (AE + EC)

= AB + AC.

60. (h.132)

a) Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) trên BC. Ta có BD = BE, CD = CF nên

AE = AB + BE = c + BD

AF = AC + CF = b + CD.

Suy ra

AE + AF = b + c + (BD + CD)

= a + b + c.

Ta lại có AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại A) nên

61. (h.133)

a) Ta có OC, OD là các tia phân giác của hai góc kề bù nên widehat{COD} = 90°. Gọi I là trung điểm của CD thì

IC = ID = IO

nên I là tâm và IO là bán kính của đường tròn có đường kính CD.

Hãy chứng minh tiếp AB vuông góc với IO tại O.

b) Chu vi hình thang ABDC bằng :

AB + AC + BD + CD.

Dễ dàng chứng minh được

AC + BD = CM + MD = CD

nên chu vi ABDC bằng AB + 2CD.

Ta có AB không đổi nên chu vi ABDC nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất. CD nhỏ nhất ⇔ CD = AB ⇔ CD // AB ⇔ OM ⊥ AB.

Vậy khi OM ⊥ AB thì chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB.

c) Đặt AC = x, BD = y. Chu vi ABDC bằng

AB + 2CD = 4 + 2(x + y) .

Do chu vi ABCD bằng 14 nên

4 + 2(x + y) = 14xy

hay

x + y = 5 (1)

Ta lại có

xy = MC.MD

= OM^2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông COD)

nên xy = 2^2 = 4. (2)

Từ (1) và (2) suy ra : x + 4/x = 5 ⇔ x^2 +4 = 5x ⇔ x^2 – 5x + 4 = 0

⇔ (x – 1)(x – 4) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x =4.

Như vậy, nếu điểm C (thuộc tia Ax) cách điểm A là 1cm hoặc 4cm thì chu vi hình thang ABDC bằng 14cm.

62. (h.134)

a) Ta có Ax // By nên theo định lí Ta-lét:

Ta lại có DB = MD , AC = MC . (2)

Từ (1) và (2) ta có :

Do AC ⊥ AB nên MN ⊥ AB .

b) Theo định lí Ta-lét:

Suy ra MN = NH.

63. (h.135)

Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Ta có :

Do đó (giả sử b > c) :

Bài tập bổ sung

6.1. Chọn (B).

6.2. (h.bs.33) ADOE là hình bình hành, lại có AO là đường phân giác của góc A nên là hình thoi.

6.3. (h.bs.34). Ta có OB ⊥ AB và AB // CD nên OB ⊥ CD. Gọi H là giao điểm của BO và CD thì BH ⊥ CD, suy ra HC = HD. Do đó BC = BD.

>> Xem thêm Vị trí tương đối của hai đường tròn tại đây.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Có thể bạn quan tâm