Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn – Góc – Ôn thi vào lớp 10 – Hình học

| Tin mới | Tag:
Rate this post

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

I. Hướng dẫn giải

– Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có hai góc vuông cùng nhìn một cạnh hoặc một đường chéo (tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác được xác định là trung điểm của cạnh hoặc đường chéo đó).

– Phương pháp 2: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180^0 .

– Phương pháp 3: Chứng minh tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh

– Phương pháp 4: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

– Phương pháp 5: Chứng minh nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M mà

MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp.

II. Bài tập mẫu

Bài 1. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó.

Giải

– Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) nên góc OME bằng 90^0

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc OBE bằng 90^0

Vậy, tứ giác EBMO có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OE nên tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

– Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) nên góc OMD bằng 90^0

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng 90^0

Vậy, tứ giác DCOM có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OD nên tứ giác DCOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OD.

Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Giải

Ta có:

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Có: góc ADB bằng 90^0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Bài 3. Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD.

a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (bán kính đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1)

△BMC và △BCN có:

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Nên △BMC đồng dạng △BCN (g.g)

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Do (1) ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH:

BC^2 = BH.BO (3)

Từ (2) và (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minh trên)

△BMO và △BHN có:

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ △BMO đồng dạng △BHN (c.g.c)

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh).

Bài 4. Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).

a. Chứng minh MA.MB = ME.MF.

b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

Giải

a. Hai tam giác MAE và MBF có:

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ △MAE đồng dạng với △MBF (g.g)

Nên:

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có:

MA.MB = MC^2

Mặt khác, hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO cho ta:

MH.MO = MC^2 ⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc dây AD và góc COD bằng 120^0 . Gọi giao điểm của hai dây AD và BC và E, giao điểm của các đường thẳng AC và BD là F.

a. Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng nẳm trên một đường tròn.

b. Tính bán kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp.

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

Bài 4. Cho hai điểm A, B cố định và góc xAy bằng 60^0 (B thuộc miền trong góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường thẳng BN cắt Ax tại H và đường thẳng BM cắt Ay tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minh HK = 2MN

b. Chứng minh tứ giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Bài 5. Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kì trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai: C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai F.

a. Chứng minh bốn điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đường tròn.

b. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 6. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đường tròn tâm O’ tại D.

a. Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp.

Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.

Share

  • Tweet
  • Email

Related

Tags:Các dạng toán ôn thi vào 10

Bình luận
0

Bình luận